f ( x ) = 1 3 ⋅ x 3 − 2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x {\displaystyle {f(x)}={1 \over 3}\cdot x^{3}-2\cdot x^{2}+3\cdot x}

Sau đó, đạo hàm bậc hai của hàm cho bởi:

f ″ ( x ) = 2 ⋅ x − 4 {\displaystyle {f''(x)}={2\cdot x-4}}

Điểm chuyển hướng x C {\displaystyle x_{C}} thỏa mãn điều kiện cần

f ″ ( x ) = 0 {\displaystyle {f''(x)}=0} tương đương 2 ⋅ x − 4 = 0 {\displaystyle {2\cdot x-4}=0}

Do đó x C = 2 {\displaystyle x_{C}=2} . Để xác nhận đây là điểm uốn, cần thiết phải tính đạo hàm bậc ba

f ‴ ( x ) = 2 {\displaystyle {f'''(x)}=2\,}

Vì f ‴ ( x C ) = f ‴ ( 2 ) = 2 ≠ 0 {\displaystyle f\,'''(x_{C})=f'''(2)=2\neq 0} thỏa mãn điều kiện đủ, do vậy đây là điểm uốn của đồ thi hàm số. Hoặc có thể phát hiện ra điểm uốn mà không cần thực hiện tính đạo hàm bậc ba: nhận xét thấy f ″ ( x ) = 2 ⋅ x − 4 < 0 {\displaystyle f\,''(x)=2\cdot x-4<0} đối với mọi x < 2 {\displaystyle x<2} và f ″ ( x ) = 2 ⋅ x − 4 > 0 {\displaystyle f\,''(x)=2\cdot x-4>0} đối với mọi x > 2 {\displaystyle x>2} ta thấy có sự thay đổi dấu tại điểm này do vậy đây là một điểm uốn.

Tọa độ y {\displaystyle y} của điểm uốn tìm được bằng cách thay x = 2 {\displaystyle x=2} vào phương trình hàm số.

y C = f ( 2 ) = 1 3 ⋅ 2 3 − 2 ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 2 = 2 3 {\displaystyle y_{C}=f(2)={1 \over 3}\cdot 2^{3}-2\cdot 2^{2}+3\cdot 2={2 \over 3}}

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm uốn tìm được bằng cách: thay tọa độ x C {\displaystyle x_{C}} của điểm uốn (bằng 2) vào phương trình đạo hàm bậc nhất, thì sẽ nhận được giá trị độ dốc (m). Tiếp đến hằng số b trong phương trình tiếp tuyến (y = mx + b), tìm được bằng cách thay giá trị tọa độ x C {\displaystyle x_{C}} và y C {\displaystyle y_{C}} của điểm uốn vào phương trình vừa tìm được độ dốc m.

f ′ ( x ) = x 2 − 4 ⋅ x + 3 {\displaystyle f\,'(x)=x^{2}-4\cdot x+3} f ′ ( 2 ) = 2 2 − 4 ⋅ 2 + 3 = − 1 {\displaystyle f\,'(2)=2^{2}-4\cdot 2+3=-1} Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn: y = − x + 8 3 {\displaystyle y=-x+{8 \over 3}}